不定积分 1 ¶

有理函数积分 ¶

通用解法 ¶

核心策略

• 遇到有理函数积分，一般采用裂项 + 待定系数法，不过对于特定有理函数可能存在更便捷方法，但仍需以掌握基本方法为主。
• 先将有理函数划分为真分式与假分式，假分式可通过多项式除法转化为多项式与真分式之和，所以解决有理函数积分关键在于处理有理真分式积分。

真分式积分步骤详解

• 步骤一：分母因式分解：将真分式分母彻底分解，直至无法继续分解。
• 步骤二：裂项规则
  • 若分母含有 \((x - a)^{k}\)，则裂项后的式子必定包含 \(\dfrac{A_{1}}{x - a}+\dfrac{A_{2}}{(x - a)^{2}}+\cdots+\dfrac{A_{k}}{(x - a)^{k}}\)。
  • 若分母含有 \((x^{2}+px + q)^{k}\)（需满足 \(p^{2}-4q\lt0\)），则裂项后的式子必定包含 \(\dfrac{B_{1}x + C_{1}}{(x^{2}+px + q)^{1}}+\dfrac{B_{2}x + C_{2}}{(x^{2}+px + q)^{2}}+\cdots+\dfrac{B_{k}x + C_{k}}{(x^{2}+px + q)^{k}}\)。
• 步骤三：确定待定系数：对裂项后的式子通分，依据“通分后的分子与原被积函数的分子对应系数相等”原则，列出待定系数满足的方程，进而求解待定系数，从而将真分式分解为各个基本分式之和。
• 步骤四：计算基本分式积分
• 对于 \(\displaystyle\int\dfrac{A}{(x - a)^{k}}\mathrm{d}x\) 这类基本分式积分相对容易。
• 对于 \(\displaystyle\int\dfrac{Bx + C}{x^{2}+px + q}\mathrm{d}x\) 和 \(\displaystyle\int\dfrac{Bx + C}{(x^{2}+px + q)^{2}}\mathrm{d}x\)，其计算有通用方法，尤其在期末、考研范围内，分母次数通常为 1 或 2，后续例题将详细介绍其计算方法。

例题解析 ¶

例题 1：

解：

例题 2：

解：

例题 3

解：

设 \(\dfrac{3x+6}{(x-1)^2(x^2+x+1)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{(x-1)^2} + \dfrac{Cx+D}{x^2+x+1}\)

通分可得：

\(3x+6 = A(x-1)(x^2+x+1) + B(x^2+x+1) + (Cx+D)(x-1)^2\) 可得方程组：

\(\begin{cases} A+C=0 \\ 3B=9 (x=1\text{代入}) \\ B-2C+D=0 \\ -A+B+D=6 (x=0\text{代入}) \end{cases}\) 解得 \(A=-2, B=3, C=2, D=1\)

例题 4

解：

\(\dfrac{1}{x^3+1} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{Bx+C}{x^2-x+1}\)

可得 \(1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1)\)

解得 \(A=\dfrac{1}{3}, B=-\dfrac{1}{3}, C=\dfrac{2}{3}\)

有理函数积分特殊解法 ¶

从理论上讲，所有有理函数积分均可运用上述待定系数法求解，但此通法未必是最优选择，其工作量往往较大。实际上，许多有理函数积分具备独特解法，需仔细剖析被积函数结构，具体问题具体分析。学习数学是一个积累过程，尽管特殊解法较为灵活，但同学们不应畏惧。

例题 6

解：

例题 7：

解：

注：被积函数是连续的，而其计算得到的原函数（含 \(\arctan(x-1/x)\)）含有间断点 \(x=0\)，此处严格来说需要定义分段函数以保证原函数连续性。