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24 微甲小测 1

  1. 设 \( f(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 2024^2}\right) - \ln(2024) \)，则 \( f(x) \) 是

单选题

  • A. 偶函数
  • B. 奇函数
  • C. 非奇非偶函数
  • D. 周期函数
  • E. 若其他选项均不能选，就选此项 .

答案：B

  1. 下述关于极限计算正确的是

单选题 (10 分 )

  • A. \( \lim\limits_{x \to +\infty} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = \text{e} \)
  • B. \( \lim\limits_{x \to +\infty} (1 + 2x)^{\frac{1}{x}} = \text{e}^2 \)
  • C. \( \lim\limits_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{2x} = \text{e}^2 \)
  • D. \( \lim\limits_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} = \text{e}^2 \)
  • E. 若其他选项均不能选，就选此项 .

答案：D

  1. 函数 \( f(x) = |x - 1|^{\frac{1}{x(x - 2)}} \) 的第一类间断点的个数为

单选题 (10 分 )

  • A. 3
  • B. 2
  • C. 1
  • D. 0
  • E. 若其他选项均不能选，就选此项 .

答案：B

分析：\(x = 0,2\) 均为第一类间断点

\(f(x) = e^{\frac{\ln|x-1|}{x(x-2)} },x\to1,f(x)\to+\infty\)

\(x = 1\) 是第二类间断点

  1. 已知数列 \(\{a_n\}\)（\(a_n \in \mathbb{R}, a_n \neq 0\)），若 \(\{a_n\}\) 发散，则：

单选题 (10 分 )

  • A. 数列 \(\{a_n + \frac{2}{a_n}\}\) 发散；
  • B. 数列 \(\{a_n - \frac{1}{a_n}\}\) 发散；
  • C. 数列 \(\{2^{a_n} + 2^{-a_n}\}\) 发散；
  • D. 数列 \(\{2^{a_n} - 2^{-a_n}\}\) 发散；
  • E. 若其他选项均不能选，就选此项。

答案：D

选项 A反例：\(a_n = \begin{cases} 2, & n\text{奇} \\ 1, & n\text{偶} \end{cases}\)，\(\{a_n\}\) 发散，但 \(a_n + \dfrac{2}{a_n} \equiv 3\)（收敛），故 A 错。

选项 B反例：\(a_n = \begin{cases} 1, & n\text{奇} \\ -1, & n\text{偶} \end{cases}\)，\(\{a_n\}\) 发散，但 \(a_n - \dfrac{1}{a_n} \equiv 0\)（收敛），故 B 错。

选项 C反例：\(a_n = \begin{cases} 1, & n\text{奇} \\ -1, & n\text{偶} \end{cases}\)，\(\{a_n\}\) 发散，但 \(2^{a_n} + 2^{-a_n} \equiv \dfrac{5}{2}\)（收敛），故 C 错。

选项 D反证：若 \(\{2^{a_n} - 2^{-a_n}\}\) 收敛，由 \(2^x\) 严格单调连续，得 \(\{a_n\}\) 收敛，与“\(\{a_n\}\) 发散”矛盾，故 D 正确。

综上，A、B、C 错误，D 正确。

Tips

本题来说，画出 \(f(x)\) 的图像，若 \(f(x)\) 与某个水平线有两个交点，就可以举出反例

Tips

选项 D 的分析用到了严格单调连续函数的保敛性： 若函数\(f(x)\)是严格单调且连续的，则：
若数列\(\{x_n\}\)收敛，则\(\{f(x_n)\}\)必收敛；
反之，若\(\{f(x_n)\}\)收敛，则\(\{x_n\}\)必收敛（考虑反函数\(f^{-1}\)单调连续）。

  1. 当 \( x \to 1 \) 时，\(\alpha(x) = 1 + \cos \pi x\) 与 \(\beta(x) = A(x - 1)^n\) 为等价无穷小量，则

单选题 (10 分 )

  • A. \( A = \frac{\pi}{2}, n = 2 \);
  • B. \( A = -\frac{\pi}{2}, n = 2 \);
  • C. \( A = \frac{\pi^2}{2}, n = 2 \);
  • D. \( A = -\frac{\pi^2}{2}, n = 2 \);
  • E. 若其他选项均不能选，就选此项 .

答案 : C

令 \(t = x-1\to0\)

\(1+\cos(\pi t+\pi) = 1-\cos(\pi t)\sim \dfrac{1}{2}(\pi t)^2\sim At^n\)

  1. \( \lim\limits_{x \to +\infty} x \left( \sqrt[3]{x^3 + x} - \sqrt[3]{x^3 - 5x} \right) = \)

单选题 (10 分 )

  • A. \( \frac{1}{3} \)
  • B. \( \frac{2}{3} \)
  • C. \( 2 \)
  • D. 不存在
  • E. 若其他选项均不能选，就选此项

答案：C

\(\lim\limits_{x\to+\infty}x^2\left[\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)^{\frac{1}{3}}-1\right] - \lim\limits_{x\to+\infty}x^2\left[\left(1-\dfrac{5}{x^2}\right)^{\frac{1}{3}}-1\right]\)

利用 \((1+t)^\alpha-1\sim \alpha t(t\to0)\)

原式 \(=\dfrac{1}{3} - (-\dfrac{5}{3}) = 2\)

  1. 设 \(\alpha(x) = \dfrac{8 - x}{4 + x}\)，\(\beta(x) = 2 - \sqrt[3]{x}\)，当 \(x \to 8\) 时，下列陈述正确的是

单选题 (10 分 )

  • A. \(\alpha(x)\) 与 \(\beta(x)\) 为同阶非等价无穷小量；
  • B. \(\alpha(x)\) 与 \(\beta(x)\) 为等价无穷小量；
  • C. \(\alpha(x)\) 是比 \(\beta(x)\) 更高阶的无穷小量；
  • D. \(\alpha(x)\) 是比 \(\beta(x)\) 更低阶的无穷小量；
  • E. 若其他选项均不能选，就选此项。

答案：B

\(x\to8\), \(\alpha(x) \to 0\), \(\beta(x) \to 0\)

\(\lim\limits_{x \to 8} \dfrac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{\frac{8 - x}{4 + x}}{2 - \sqrt[3]{x}} = \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{(8 - x)(2^2 + 2\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2})}{(4 + x)(8 - x)} = 1\)

  1. 设 \( f(x) = \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1 + x}{1 + x^{2n}} \)，则：\( f(x) \)

单选题

  • A. 没有间断点
  • B. 有间断点 \( x = -1 \)
  • C. 有间断点 \( x = 0 \)
  • D. 有间断点 \( x = 1 \)
  • E. 若其他选项均不能选，就选此项

答案：D

\(x>1,f(x) = 0\)

\(f(1) = 1\)

\(-1<x<1,f(x) = 1+x\)

\(f(-1) = 0\)

\(x<-1,f(x) = 0\)

所以 \(x = 1\) 是跳跃间断点

  1. 设 \(f(x)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上严格单调有界，\(\{x_n\}\) 为实数列，则下列陈述错误的是

多选题 (10 分 )

  • A. 若 \(\{x_n\}\) 收敛，则 \(\{f(x_n)\}\) 必收敛；
  • B. 若 \(\{x_n\}\) 单调，则 \(\{f(x_n)\}\) 必收敛；
  • C. 若 \(\{f(x_n)\}\) 收敛，则 \(\{x_n\}\) 必收敛；
  • D. 若 \(\{f(x_n)\}\) 单调，则 \(\{x_n\}\) 必收敛；
  • E. 若其他选项均不能选，就选此项 .

答案：ACD

解析：

对于 A，举反例\(f(x) = \begin{cases} \arctan x +1(x\ge0) \\ \arctan x(x\lt0) \end{cases}, x_n = \dfrac{(-1)^n}{n}\)

\(f(x)\) 在数列收敛点处为跳跃间断点即可。

对于 B，证明：

由于 \(f(x)\) 单调，\(x_n\) 也单调，所以 \(f(x_n)\) 单调 由于\(f(x)\)有界，所以\(f(x_n)\)有界 根据单调有界定理，即证。

对于 C、D：举反例 \(f(x) = \arctan x, x_n = n\)

  1. 下列陈述正确的是

多选题 (10 分 )

  • A. 实数列 \(\{a_n\}\) 收敛当且仅当 \(\forall \varepsilon > 0\) 及 \(\forall p \in \mathbb{N}_+\)，\(\exists N > 0\)，当 \(n > N\) 时，有 \(|a_{n+p} - a_n| < \varepsilon\)．
  • B. 对实数列 \(\{a_n\}\)，若 \(\{a_n^2\}\) 收敛，则 \(\{a_n\}\) 必收敛；
  • C. 对实数列 \(\{a_n\}\)，若 \(\{a_n^3\}\) 收敛，则 \(\{a_n\}\) 必收敛；
  • D. 若有界实数列 \(\{a_n\}\) 发散，则存在 \(\{a_n\}\) 的两个收敛子列，且其极限不等．
  • E. 若其他选项均不能选，就选此项．

答案：CD

解析：

A 顺序有误。反例：\( a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \) 调和级数发散

\( \forall p \in \mathbb{N}_+ \)，\( |a_{n+p} - a_n| = \sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{1}{k} < p \cdot \frac{1}{n+1} \) 取 \( N = \left[ \frac{p}{\varepsilon} \right] \)，\( |a_{n+p} - a_n| < \frac{p}{\varepsilon} = \varepsilon \)

B：\( a_n = (-1)^n \)

C：\( \lim\limits_{n \to \infty} a_n^3 = a^3 \implies \lim\limits_{n \to \infty} a_n = a \)

D：定义

其他年份第 1 次小测零散收集

下列陈述不正确的是

  • A. 若正项数列 \(\{a_n\}, \{b_n\}\) 均发散，则 \(\{a_n b_n\}\) 必发散
  • B. 若数列 \(\{a_n\}\) 收敛，\(\{b_n\}\) 发散，则 \(\{a_n b_n\}\) 必发散
  • C. 若数列 \(\{a_n\}\) 收敛，\(\{b_n\}\) 发散，则 \(\{a_n + b_n\}\) 必发散
  • D. 若数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(\lim_{n \to +\infty} |a_{n+1} - a_n| = 0\)，则数列 \(\{a_n\}\) 必收敛

ABD

设 \(f(x)\) 在 \(x=2\) 处连续，且 \(\lim\limits_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = 2\)，则 \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(e^{x^2} + \cos 2x)}{\ln(1+x^2)} = \underline{\hspace{2cm}}\).

  • A. -2
  • B. -1
  • C. 2
  • D. 1

令 \(f(x) = 2(x-2)\) 容易得到答案为A

22-23 年的小测 pdf