期中模拟试题

  1. 计算极限
\[ \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{6}} \dfrac{1-2\sin{x}}{6x-\pi} \]






  1. 用定义证明：若数列 \(\{a_n\}\) 单调递增且无上界，则 \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n = +\infty\)










  1. 计算极限
\[ \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{e^{-x} + \cos{\sqrt{\frac{x}{1+x}}}}{2} \right)^{\frac{1}{\tan{x}}} \]










  1. 计算极限
\[ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1!+2!+3!+\dots+n!}{n!} \]











  1. 设 \(y=y(x)\) 由 \(x^2+y^2+y=e^{x-y}\) 确定，且 \(y(0)=0\)，求 \(y'(0), y''(0)\)。












  1. 设函数 \(f(x) = \begin{cases} \ln{\sqrt{x}}, & x \ge 1 \\ 2x-1, & x < 1 \end{cases}\)，设 \(y=f(f(x))\)，求 \(\left. \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{x=e}\)








  1. 曲线 \(C\) 的参数方程为： \(\begin{cases} x = t + \sin{t} \\ y = t - \cos{t} \end{cases}\) (1) 求 \(t=0\) 处的切线方程 (2) 求 \(y''(x)\) 的参数表达式。











  1. 极坐标系下曲线 \(C:r = 1+\theta e^{-\theta}\)，求 \(\theta=0\) 处在直角坐标系下的切线方程













  1. 设 \(y = \dfrac{1+x}{\sqrt{1-x}}\)，求 \(y^{(100)}\)













  1. \(f(x) = \begin{cases} x^3\sin{\dfrac{1}{x}} + e^{3x} & (x<0) \\ ax-b & (x \ge 0) \end{cases}\) 在 \(x=0\) 处可导，求 \(a,b\)










  1. 求函数 \(f(x) = \lim\limits_{n \to+\infty} \dfrac{1+x}{1+x^{2n}}\) 的间断点。









  1. (1) 求函数 \(f(x) = x+\dfrac{4}{x^2}\) 在 \(x>0\) 上的最小值。 (2) 设数列 \(\{x_n\}\) 满足 \(x_n>0\) 且 \(x_n + \dfrac{4}{x_{n+1}^2} < 3\)。证明 \(\{x_n\}\) 收敛并求其极限。

























  1. 已知 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 内可导，\(b>a>1\)。证明：存在 \(\xi, \eta \in (a,b)\)，使
\[ f'(\eta) = \dfrac{b-a}{\eta(\ln b - \ln a)} f'(\xi) \]