25 期末模拟

云峰学园 25-26 微甲模拟

填空题 ( 每小题 5 分，共 40 分 ) ¶

1. 当 $x\to0$ 时，$\sqrt{1+\tan x} - \sqrt{1+\sin x}$ 与 $x^\alpha$ 同阶无穷小，则 $\alpha=$_____

2. 曲线 $\displaystyle y = x \ln\left(e + \frac{1}{x-1}\right)$ 的斜渐近线方程为 _____

3. 设函数 $y = f(x)$ 由参数方程 $\begin{cases}x = 1 + t^{3}\\y = e^{t^{2}}\end{cases}$ 确定，则 $\lim\limits_{x\to+\infty}x\left[f\left(2+\dfrac{2}{x}\right)-f(2)\right]$ 的值为_____

4. 设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\ln(x^2+y) = x^3y+\sin x$ 确定 , 则 $\mathrm{d}y\big|_{x=0}=$____

5. 设函数 $f(x) = x\ln(1+x)$，则 $f^{(5)}(0) =$_____

6. 已知曲线 $L$ 的参数方程为 $\begin{cases} x = t - \sin t \\ y = 1 - \cos t \end{cases} (0 \le t \le 2\pi)$，则 $L$ 与 $x$ 轴围成的图形面积为 _____

7. 已知曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r = 1 + \cos \theta \ (0 \le \theta \le 2\pi)$，则曲线 $L$ 的全长为 _____

8. 设 $\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \left[ \dfrac{2x^2+bx+a}{x(2x+a)} - 1 \right]\mathrm{d}x = 1$，则 $a =$___$b =$ ____

解答题 ( 共 60 分 ) ¶

( 本题 6 分 ) 9. 求极限 $\displaystyle \lim_{x\to 0} \left(\frac{1}{x} - \frac{\ln(1+x)}{x\sin x}\right)$.

( 本题 6 分 ) 10. 求不定积分

\[ \int \dfrac{\ln x}{(1 + x^{2})^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x \]

( 本题 8 分 ) 11. 设 $t > 0$，平面有界区域 $D$ 由曲线 $y = \sqrt{x}e^{-x}$ 与直线 $x = t$，$x = 2t$ 及 $x$ 轴围成，$D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为 $V(t)$，求 $V(t)$ 的最大值。

( 本题 6 分 ) 12. 设 $f(x)=\displaystyle\int_{1}^{x} \dfrac{\ln(1+t)}{t} \mathrm{d}t$，计算 $\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{d}x$

13. 已知数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ 满足 $a_n = \ln(1+a_n) + b_n$，其中 $0 < a_n < \dfrac{1}{n^2}$

( 本小题 6 分 ) (1) 证明：$0 < b_n < \dfrac{1}{2}a_n^2$；

( 本小题 4 分 ) (2) $\lim\limits_{n\to\infty} \left(\dfrac{b_1}{a_1} + \dfrac{b_2}{a_2} + \cdots + \dfrac{b_n}{a_n}\right)$ 存在。

14. 设可导函数 $f(x)$ 严格单调递增且满足 $\displaystyle\int_{-1}^1 f(x)\mathrm{d}x=0$，记 $a=\displaystyle\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x$.

( 本小题 5 分 ) (1) 证明 $a>0$；

( 本小题 5 分 ) (2) 令 $F(x)=a(1-x^2)+\displaystyle\int_1^x f(t)\mathrm{d}t$，证明：存在 $\xi \in (-1,1)$，使得 $F''(\xi)=0$.

15. 已知函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上具有二阶连续导数，且 $f''(x) < 0$，$f(0) = f(1) = 0$。

( 本小题 7 分 ) (1) 证明：存在唯一的 $x_0 \in (0,1)$ 使得 $f'(x_0) = 0$，且 $$ \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x > \frac{1}{2} f(x_0) $$

( 本小题 7 分 ) (2) 记 $k_1 = f'(0)$， $k_2 = f'(1)$，证明： $$ \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x < \frac{k_1 k_2}{2(k_2 - k_1)} $$