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不定积分 3

换元法、分部积分、综合题

根式换元

Note

见到 \(\sqrt{\frac{一次函数}{一次函数}}\)、\(\sqrt{e^{ax}+b}\)、\(\sqrt{\frac{e^{ax}+b}{e^{ax}-b}}\) 等形式，可直接将整个根号令成 \(t\)，以消去根号。但此方法不一定是最简方法，需具体问题具体分析。

例题 1

\[\int \sqrt{\dfrac{x}{x + 1}}\mathrm{d}x\]

注：换元后不要解出 \(x\)，应直接分部积分，否则会升高分母阶数，使积分次数变高。

类题 1

\[\int \dfrac{1}{x}\sqrt{\dfrac{x + 1}{x}}\mathrm{d}x\]

类题 2 计算

\[\int \sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}}\mathrm{d}x\]
\[\int(\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}}+\sqrt{\dfrac{1 + x}{1 - x}})\mathrm{d}x\]

注：换元法可行，但思考有无简便方法（提示：分子有理化，然后裂开，拆成 2 个积分）

类题 3

\[\int \dfrac{xe^{x}}{\sqrt{e^{x}-2}}\mathrm{d}x\]

类题 4

\[\int \dfrac{1}{\sqrt[3]{(x + 1)^{2}(x - 1)^{4}}}\mathrm{d}x\]

注：第一次做想不到正常（本题是同济版高等数学教材课后习题）

Note

为消去多个根号，需具体问题具体分析换元方式。

例题 2

\[\int \dfrac{1}{(1+\sqrt[3]{x})\sqrt{x}}\mathrm{d}x\]

注：为消去 \(\sqrt[3]{x}\) 和 \(\sqrt{x}\) 的根号，令 \(x = t^{6}\)。

类题

\[\int \dfrac{1}{1 + e^{\frac{x}{2}} + e^{\frac{x}{3}} + e^{\frac{x}{6}}}\mathrm{d}x\]

（提示：令 \(e^{\frac{x}{6}} = t\)，转化为有理函数积分）

三角换元

Note

若根号里面没有一次项，只有平方项和常数项：

  • 形如“\(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\)”，令 \(x = a\sin t\)。
  • 形如“\(\sqrt{a^{2}+x^{2}}\)”，令 \(x = a\tan t\)。
  • 形如“\(\sqrt{x^{2}-a^{2}}\)”，令 \(x = a\sec t\)。
    • 注：有时不一定非要出现根号才用三角换元，如 \(\displaystyle\int \dfrac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\mathrm{d}x\)，可用三角换元 + 二倍角处理。

若根号里面含有一次项，先对根号里面的二次函数配方，消去一次项后转化为上述问题。

例题 3

\[\int \dfrac{1}{x^{4}}\sqrt{4 - x^{2}}\mathrm{d}x\]

例题 4

\[\int \dfrac{1}{\sqrt{(x^{2}+1)^{3}}}\mathrm{d}x\]

例题 5

\[\int \dfrac{1}{\sqrt{x(4 - x)}}\mathrm{d}x\]

提示：先配方，变形为 \(\int \dfrac{1}{\sqrt{x(4 - x)}}\mathrm{d}x=\int \dfrac{1}{\sqrt{4x - x^{2}}}\mathrm{d}x=\int \dfrac{1}{\sqrt{4-(x - 2)^{2}}}\mathrm{d}x\)，再令 \(x - 2 = 2\sin t\)。

例题 6

\[\int x\sqrt{2x - x^{2}}\mathrm{d}x\]

提示：先配方，变形为 \(\int x\sqrt{2x - x^{2}}\mathrm{d}x=\int x\sqrt{1-(x - 1)^{2}}\mathrm{d}x\)，再令 \(x - 1 = \sin t\)。

例题 7

\[\int \dfrac{1}{x^{2}\sqrt{x^{2}-1}}\mathrm{d}x\]

Note

注：令 \(x = \sec t\) 可行，但本题可归为一种模型，即一切可化为 \(\int \dfrac{1}{(x + d)\sqrt{ax^{2}+bx + c}}\mathrm{d}x\) 和 \(\int \dfrac{1}{(x + d)^{2}\sqrt{ax^{2}+bx + c}}\mathrm{d}x\) 的不定积分，可用倒代换 \(x + d=\dfrac{1}{t}\) 简化后积分。

类题

\[\int \dfrac{1}{x\sqrt{2x^{2}+2x + 1}}\mathrm{d}x\]
\[\int \dfrac{1}{x^{2}\sqrt{2x^{2}+2x + 1}}\mathrm{d}x\]

分部积分法

Note

见到不同种类函数相乘，一般用分部积分公式 \(\int udv = uv-\int vdu\)。

分部积分使用原则： - 口诀：按“反对幂指三”顺序，谁排在后面，就把谁凑到微分符号\(\mathrm{d}\)后面，然后分部积分。 - 思想：“对/反”函数求导后不再是同类函数，所以要把其他函数凑到\(\mathrm{d}\)后分部积分，使\(\mathrm{d}\)对“对/反”函数求导；指数函数与幂函数相乘时，幂函数怕求导，指数函数不怕，所以把指数函数凑到\(d\)后。总之，谁怕求导，就把其余部分凑到\(\mathrm{d}\)后。

例题 1

\[\int x\arctan x\mathrm{d}x\]

注：分部积分时，善于在 \(\mathrm{d}\) 后增减常数使式子更简洁。

类题

\[\int x\cdot\ln(1 + x^{2}) \arctan x\mathrm{d}x\]

例题 2

\[\int e^{x}\sin x\mathrm{d}x\]

注：被积函数为指数函数和三角函数相乘时，需连续两次分部积分，出现“积分重现”后解决问题，且两次分部积分凑到 \(d\) 后的函数必须同类，否则原路返回。

类题

\[\int x\cdot e^{x}\sin x\mathrm{d}x\]

例题 3

\[\int\ln^{2}(x+\sqrt{1 + x^{2}})\mathrm{d}x\]

换元法 + 分部积分

换元后分部积分是常见出题风格，需熟练掌握。若预判需换元与分部积分，建议先换元，因其可使被积表达式更“清爽”利于后续操作。

例题 1

\[\int e^{2x}\arctan\sqrt{e^{x}-1}\mathrm{d}x\]

类题 1

\[\int \dfrac{x\cdot e^{\arctan x}}{(1 + x^{2})^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x\]
\[\int \dfrac{e^{\arctan x}}{(1 + x^{2})^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x\]

类题 2

\[\int \dfrac{\ln x}{(1 + x^{2})^{\dfrac{3}{2}}}\mathrm{d}x\]

类题 3

\[\int \dfrac{\arctan\sqrt{x - 1}}{x\sqrt{x - 1}}\mathrm{d}x\]
\[\int \dfrac{\sqrt{x - 1}\arctan\sqrt{x - 1}}{x}\mathrm{d}x\]

例题 2

\[\int\ln(1+\sqrt{\dfrac{1 + x}{x}})\mathrm{d}x\]

注：换元后不解出 \(x\)，直接分部积分消去对数符号。若解出 \(x\) 再代入，计算更繁琐。类似题目还有：

类题 1

\[\int\arctan(1+\sqrt{x})\mathrm{d}x\]

类题 2

\[\int\sqrt{1 + x^{2}}\ln x\mathrm{d}x\]

利用分部积分对分母进行降阶

分母次数高时，除倒代换外，可用分部积分降阶，核心是将分母凑到 \(\mathrm{d}\) 后分部积分。

例题 1

\[\int \dfrac{xe^{x}}{(1 + x)^{2}}\mathrm{d}x\]

类题 1

\[\int \dfrac{x^{2}e^{x}}{(x + 2)^{2}}\mathrm{d}x\]

类题 2

\[\int \dfrac{xe^{x}}{(1 + e^{x})^{2}}\mathrm{d}x\]

以下例题需用“强制凑微分”技巧，核心仍是对分母降阶。

例题 2

\[\int \dfrac{x^{2}}{(x\sin x+\cos x)^{2}}\mathrm{d}x\]

例题 3

\[\int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{-x^{2}}}{(x^{2}+\frac{1}{2})^{2}}\mathrm{d}x\]

利用分部积分实现“积分抵消”

有些题目将积分拆成两个，对其中一个积分 \(I_{2}\) 用分部积分，使其与另一个积分 \(I_{1}\) 抵消。被积函数一般含指数函数 \(e^{x}\)。

例题 1

\[\int \dfrac{xe^{x}}{(1 + x)^{2}}\mathrm{d}x\]

注：题源为 \(\int e^{x}[f(x)+f'(x)]\mathrm{d}x\)，可拆开用“分部积分 + 积分抵消”思想，也可用基本公式 \([e^{x}f(x)]'=e^{x}[f(x)+f'(x)]\)。

类题 1

\[\int \dfrac{(1+\sin x)e^{x}}{1+\cos x}\mathrm{d}x\]

类题 2

\[\int e^{x}(\dfrac{1 - x}{1 + x^{2}})^{2}\mathrm{d}x\]

类题 3

\[\int \dfrac{x^{2}e^{x}}{(x + 2)^{2}}\mathrm{d}x\]

被积函数含 \(e^{f(x)}\) 也可用此方法。

例题 2

\[\int \dfrac{e^{-\sin x}\cdot\sin 2x}{\sin^{4}(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2})}\mathrm{d}x\]

例题 3

\[\int e^{-\dfrac{x}{2}}\dfrac{\cos x-\sin x}{\sqrt{\sin x}}\mathrm{d}x\]

类题 1

\[\int e^{\sin x}\dfrac{x\cos^{3}x-\sin x}{\cos^{2}x}\mathrm{d}x\]

注：有时需对两个积分同时用分部积分使其抵消。

类题 2

\[\int(1 + x-\dfrac{1}{x})e^{x+\frac{1}{x}}\mathrm{d}x\]

不含指数类函数的题目也可能用此思想。

例题 3

\[\int(\ln\ln x+\dfrac{1}{\ln x})\mathrm{d}x\]

例题 4

已知 \(f''(x)\) 连续，\(f'(x)\neq0\)，求

\[\int\left[\dfrac{f(x)}{f'(x)}-\dfrac{f^{2}(x)f''(x)}{(f'(x))^{3}}\right]\mathrm{d}x\]

例题 5

\[\int \dfrac{1-\ln x}{(x-\ln x)^{2}}\mathrm{d}x\]

对复杂因子求导，期待出现奇迹

被积函数某部分出现复杂“整体”（复合函数或两函数乘积）时，对其求导看特点，便于后续凑微分等操作。

例题 1

\[\int \dfrac{\ln x}{\sqrt{1 + [x(\ln x - 1)]^{2}}}\mathrm{d}x\]

例题 2

\[\int \dfrac{x + 1}{x(1 + xe^{x})}\mathrm{d}x\]

类题

\[\int \dfrac{1 + x\cos x}{x(1 + xe^{\sin x})}\mathrm{d}x\]

Note

注 1：通过例题 2 和类题可总结出题模板 \(\displaystyle\int \dfrac{1 + xf'(x)}{x(1 + xe^{f(x)})}\mathrm{d}x=\int \dfrac{[1 + xf'(x)]e^{f(x)}}{xe^{f(x)}(1 + xe^{f(x)})}\mathrm{d}x=\int \dfrac{[xe^{f(x)}]'}{xe^{f(x)}(1 + xe^{f(x)})}\mathrm{d}x=\ln|\dfrac{xe^{f(x)}}{1 + xe^{f(x)}}| + C\)，取定 \(f(x)=\arctan x\) 可原创题目。 注2：以下题目难倒很多学生，将其与前面题目对比，猜测第一步操作，可转化为上述题型或类似题型。

例题 3

\[\int \dfrac{1-\ln x}{(x-\ln x)^{2}}\mathrm{d}x\]

注：看到 \(\dfrac{1-\ln x}{(x-\ln x)^{2}}\) 应想到 \((\dfrac{\ln x}{x})'\)，如同看到某些式子联想其他式子一样。

类题 1

\[\int \dfrac{e^{x}(x - 1)}{(x - e^{x})^{2}}\mathrm{d}x\]

类题 2

\[\int \dfrac{x+\sin x\cdot\cos x}{(\cos x - x\cdot\sin x)^{2}}\mathrm{d}x\]