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不定积分 2

三角有理函数积分

万能公式

一切三角有理函数的积分，只需利用万能公式，令 \(\tan(\dfrac{x}{2}) = t\)，就总能将三角有理函数的积分化为有理函数的积分。而由于一切有理函数的积分方法我们都已经学会，所以——“从理论上来说”，三角有理函数的积分本身并没有本质上的困难；但就像前文所述，通法并不一定是好方法，利用万能公式计算三角有理函数的积分是下下策，因为这种解法的计算量往往会很大，尤其是被积函数的次数太高时，计算量是不可想象的。

所以，我们常常希望避开万能公式去求解三角有理函数的积分。当然，为了不出现知识盲区，我们还是以两道题目为例，来展示一下三角有理函数的万能公式解法。

例题 1：

\[ \int\frac{1}{3 + 5\cos x}\mathrm{d}x \]

例题 2：

\[ \int\dfrac{1}{1+ \sin x+\cos x}\mathrm{d}x \]

特殊解法

我们一般都是具体问题具体分析，灵活使用三角函数的各种恒等变形和凑微分技巧，达到快速求解的目的。总的来说，有以下几个小技巧——

化简分母

如果分母为 \(1\pm\cos x\) 或者 \(1\pm\sin x\)，那么我们可以尝试分子分母乘以共轭表达式，使分母从两项变为一项，达到化简的效果。因为，对于一个不定积分而言，如果分母项数太多，将是非常难于处理的；而如果分母只有一项，分子就算有很多项相加，我们也可以将整个积分拆分成若干个小积分，分别计算即可。当然，除了乘以共轭表达式以外，还可以利用 \(\cos 2x\) 的二倍角公式，也能达到缩分母的效果。

例题 3：

\[ \int\frac{1}{1 + \cos x}\mathrm{d}x \]

类题 1：

\[ \int\frac{\sin x}{1 + \sin x}\mathrm{d}x \]

Tip

本题可以分子 \(+1 - 1\) 然后拆开，然后转化为上一题；也可以直接分子分母乘以 \(\cdots\)

类题 2：

\[ \int\frac{1}{\sin x + \cos x}\mathrm{d}x \]

注：辅助角公式 \(\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \dfrac{\pi}{4})\) 虽然用的频率不高，但是也需要记住，偶尔会产生奇效

类题 3：

\[ \int\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}\mathrm{d}x \]

\(R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)\)

Tip

把 \(\cos x\) 凑到 \(\mathrm{d}\) 后面凑微分

例题 4：

\[ \int\frac{1}{\sin^{2}x\cdot\cos x}\mathrm{d}x \]

例题 5：

\[ \int\frac{\cos^{3}x - 2\cos x}{1 + \sin^{2}x + \sin^{4}x}\mathrm{d}x \]

此题要联系上一讲的结论

例题 6：

\[ \int\sec^3 x\mathrm{d}x \]

Note

注：本题除了利用 \(R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)\) 外，还可以使用分部积分，然后出现积分重现，即可解出我们需要的 \(\int\sec^{3}x\mathrm{d}x\)。利用这个思想，我们解决下面两个类题—— 类题 1：

\[ \int\sqrt{1 + x^{2}}\mathrm{d}x \]

类题 2：请思考如何计算积分

\[ I_{n}=\int\sec^{n}x\mathrm{d}x(n\geq3) \]

Hint：分奇偶，直接凑，很简单；\(I_{2n + 1}\) 的计算方法和 \(I_{2n - 1}\) 类似，也是“分部积分 + 积分重现”，然后得到 \(I_{2n + 1}\) 和 \(I_{2n - 1}\) 之间的递推关系。大家可以利用这个思想去计算一下 \(\int\sec^{4}x\mathrm{d}x\)，\(\int\sec^{5}x\mathrm{d}x\)）

类题 3： 请推导出积分

\[ I_{n}=\int\tan^{n}x\mathrm{d}x(n\geq2) \]

的递推公式

类题 4： 请推导出积分

\[ I_{n}=\int\sin^{n}x\mathrm{d}x(n\geq2) \]

的递推公式

类题 5：根据类题 4 的结论，可推导出定积分中大名鼎鼎的“点火公式”——

\[ I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\mathrm{d}x=\begin{cases}\frac{n - 1}{n}\cdot\frac{n - 3}{n - 2}\cdots\frac{2}{3},&n为奇数\\\frac{n - 1}{n}\cdot\frac{n - 3}{n - 2}\cdots\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2},&n为偶数\end{cases} \]

\(R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)\)

注：这种情况和上面的情形类似，所以只用两个简单的例子作为说明即可。

例题 7：

\[ \int\frac{1}{\sin x\cdot\cos^{2}x}\mathrm{d}x \]

例题 8：

\[ \int\frac{5 + 4\cos x}{(2 + \cos x)^{2}\cdot\sin x}\mathrm{d}x \]

\(R(-\sin x,-\cos x) = R(\sin x, \cos x)\)

想办法创造出 \(\sec^2\mathrm{d}x\), 凑出 \(\text{dtan}x\)

我们 有时候喜欢分子分母同时除以 \(\cos ^{2} x\) , 使分子出现 \(\sec^2\mathrm{d}x\), 就是这个原因｡

例题 9:

\[ \int \frac{1}{1+\cos ^{2} x} \text{d} x \]

例题 10:

\[ \int \frac{1}{(3 \sin x+2 \cos x)^{2}}\text{d}x \]

例题 11:

\[ \int \frac{1}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x} \text{d}x \]

例题 12:

\[ \int \frac{1}{\sin ^{4} x \cdot \cos ^{2} x} \text{d}x \]

Note

注 : 如果把被积函数中的分子分母颠倒 , 改为 \(\int \sin ^{4} x \cdot \cos ^{2} x d x\) 后 , 虽然也可以凑 , 但后续操作并不容易 ( 当然 , 也能做 );

但是若能灵活地使用二倍角公式 , 变为 \(\displaystyle\int \sin ^{4} x \cdot \cos ^{2} x ~d x=\dfrac{1}{4} \displaystyle\int \sin ^{2} 2 x \cdot \dfrac{1-\cos 2x}{2}\text{d}x\) , 则后续操作会容易很多｡这再一次体现了不定积分特别容易出现一题多解的情况 , 希望大家具体问题具体分析｡

例题 13

\[ \int \frac{1+\sin x+\cos x}{1+\sin ^{2} x}\text{d}x \]

对于形如 \(\int\dfrac{A\sin x + B\cos x}{C\sin x + D\cos x}\) 的积分

我们一般假设“分子 = \(p\) 分母 + \(q\)（分母）'”，解出 \(p\) 和 \(q\) 即可。

例题 14：

\[ \int\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}\mathrm{d}x \]

Note

注：本题当然也可以归结于 \(\cdots\) 的类型，然后凑 \(\cdots\)，同一个题有很多解法。

当被积函数中出现不同角度的三角函数时

我们一般先用倍角公式统一角度。

例题 15：

\[ \int\frac{1}{\sin x\cdot\sin 2x}\mathrm{d}x \]

例题 16：

\[ \int\frac{\cos 2x - \sin 2x}{\sin x + \cos x}\mathrm{d}x \]

Tip

\[ \int\dfrac{\sin x\cos x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x \]

的求解，利用 \((\sin x+\cos x)^2 = 1 + 2\sin x\cos x\)

对于形如 \(\int\sin ax\sin bx(a\neq b)\) 之类的题

我们可以直接采用积化和差公式，一步秒杀

例题 17：

\[ \int\sin 2x\cdot\sin 3x\mathrm{d}x \]

有些题，具体问题具体分析

这是最核心的思想。

例题 18-1：

\[ \int\frac{\sin x\cos x}{\sin x + \cos x}\mathrm{d}x \]

例题 18-2：

\[ \int\frac{\sin x\cos x}{\sin x - \cos x}\mathrm{d}x \]

例题 19：

\[ \int\frac{\sin x\cdot\cos x}{\sin^{4}x + \cos^{4}x}\mathrm{d}x \]

分母配方降次

例题 20：

\[ \int\dfrac{1}{\sin^6x + \cos^6x}\mathrm{d}x \]

立方差，配方

例题 21：

\[ \int\frac{1}{\sin^{3}x + \cos^{3}x}\mathrm{d}x \]

注：本题涉及到了三角有理函数的裂项，它们没有通法（或许是我不知道），只有观察式子结构，不断尝试，类似的还有下面这道题。

\[ \int\frac{1}{\sin(x + a)\sin(x + b)}\mathrm{d}x(\sin(a - b)\neq0) \]