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不定积分 1

有理函数积分

通用解法

核心策略

  • 遇到有理函数积分，一般采用裂项 + 待定系数法，不过对于特定有理函数可能存在更便捷方法，但仍需以掌握基本方法为主。
  • 先将有理函数划分为真分式与假分式，假分式可通过多项式除法转化为多项式与真分式之和，所以解决有理函数积分关键在于处理有理真分式积分。

真分式积分步骤详解

  • 步骤一：分母因式分解：将真分式分母彻底分解，直至无法继续分解。
  • 步骤二：裂项规则
    • 若分母含有 \((x - a)^{k}\)，则裂项后的式子必定包含 \(\dfrac{A_{1}}{x - a}+\dfrac{A_{2}}{(x - a)^{2}}+\cdots+\dfrac{A_{k}}{(x - a)^{k}}\)。
    • 若分母含有 \((x^{2}+px + q)^{k}\)（需满足 \(p^{2}-4q\lt0\)），则裂项后的式子必定包含 \(\dfrac{B_{1}x + C_{1}}{(x^{2}+px + q)^{1}}+\dfrac{B_{2}x + C_{2}}{(x^{2}+px + q)^{2}}+\cdots+\dfrac{B_{k}x + C_{k}}{(x^{2}+px + q)^{k}}\)。
  • 步骤三：确定待定系数：对裂项后的式子通分，依据“通分后的分子与原被积函数的分子对应系数相等”原则，列出待定系数满足的方程，进而求解待定系数，从而将真分式分解为各个基本分式之和。
  • 步骤四：计算基本分式积分
  • 对于 \(\displaystyle\int\dfrac{A}{(x - a)^{k}}\mathrm{d}x\) 这类基本分式积分相对容易。
  • 对于 \(\displaystyle\int\dfrac{Bx + C}{x^{2}+px + q}\mathrm{d}x\) 和 \(\displaystyle\int\dfrac{Bx + C}{(x^{2}+px + q)^{2}}\mathrm{d}x\)，其计算有通用方法，尤其在期末、考研范围内，分母次数通常为 1 或 2，后续例题将详细介绍其计算方法。

例题解析

例题 1：

\[ \int\dfrac{x + 3}{x^{2}+2x + 4}\mathrm{d}x \]

Note

通过该例题可总结出 \(\int\dfrac{Bx + C}{x^{2}+px + q}\mathrm{d}x\) 的积分套路为改造分子，拆分为两个积分，其中第一个积分直接凑微分，第二个积分配方后套公式

例题 2：

\[ \int\dfrac{x^{2}}{(a^{2}+x^{2})^{2}}\mathrm{d}x \]

Tip

提示可尝试三角换元 \(x = a\tan t\)

同时也可考虑分部积分法降低分母次数。

\[ \int\dfrac{x^{2}}{(a^{2}+x^{2})^{2}}\mathrm{d}x = \int x\cdot\dfrac{x}{(a^{2}+x^{2})^{2}}\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}\int x\dfrac{\mathrm{d}(x^2+a^2)}{x^2+a^2} \]

Note

类题：

\[ \int\dfrac{1}{(a^{2}+x^{2})^{2}}\mathrm{d}x \]

借助例题 2 及该类题，能够推导出 \(\displaystyle\int\dfrac{Bx + C}{(x^{2}+px + q)^{2}}\mathrm{d}x\) 的计算方法，例如计算 \(\displaystyle\int\dfrac{x + 2}{(x^{2}+2x + 10)^{2}}\mathrm{d}x\)，其方法可总结为改造分子、拆分为两个积分，对分母配方、换元，归结于计算 \(\displaystyle\int\dfrac{1}{(a^{2}+t^{2})^{2}}\mathrm{d}t\)

思考 \(\displaystyle\int\dfrac{x^{2}}{(x^{2}+px + q)^{2}}\mathrm{d}x\) 的计算方式。

Exercise

\[ \int\dfrac{x+2}{(x^{2}+2x + 10)^{2}}\mathrm{d}x \]

例题 3

\[ \int\dfrac{3x + 6}{(x - 1)^{2}(x^{2}+x + 1)}\mathrm{d}x \]

例题 4

\[ \int\dfrac{1}{1 + x^{3}}\mathrm{d}x \]

上面两题常规裂项就可以

有理函数积分特殊解法

从理论上讲，所有有理函数积分均可运用上述待定系数法求解，但此通法未必是最优选择，其工作量往往较大。实际上，许多有理函数积分具备独特解法，需仔细剖析被积函数结构，具体问题具体分析。学习数学是一个积累过程，尽管特殊解法较为灵活，但同学们不应畏惧。

例题 6

\[ \int\dfrac{1}{1-x^4} \]

Tip

在进行有理函数积分时，有时可依据分母形式对分子进行改造，以此达成裂项目的，类似题目如下：

类题 1：

\[ \int\dfrac{1}{x^{8}(1 + x^{2})}\mathrm{d}x \]

可以改造分子

也可尝试倒代换 \(x = \dfrac{1}{t}\)（倒代换一般适用于分母次数远高于分子时）

类题 2：

\[ \int\dfrac{1 + x^{4}}{1 + x^{6}}\mathrm{d}x \]

（一道颇具特色的题目）

类题 3：\(\displaystyle\int\dfrac{1}{x(x^{3}+27)}\mathrm{d}x\)

关于类题 3，其实一般形式为 :

\[ \int\dfrac{1}{xf(x^n)}\mathrm{d}x = \dfrac{1}{n}\int\dfrac{\mathrm{d}(x^n)}{x^n f(x^n)} = \dfrac{1}{n}\int\dfrac{\mathrm{d}t}{t f(t)} \]

更多地，还有如下积分

\[ \int \dfrac{1}{\sqrt[n]{1+x^n}}\mathrm{d}x = \int\dfrac{1}{x\sqrt[n]{1+\frac{1}{x^n}}}\mathrm{d}x \]

例题 7：

\[ \int\dfrac{1 + x^{2}}{1 + x^{4}}\mathrm{d}x \]

Summary

此例题解法经典且独具特色，通过该题可解决所有形如 \(\displaystyle\int\dfrac{1\pm x^{2}}{1 + kx^{2}+x^{4}}\mathrm{d}x\) 的积分。

同时也可对 \(1 + x^{4}\) 强行因式分解为 \((1 + x^{2})^{2}-2x^{2}=(1 + x^{2}+\sqrt{2}x)(1 + x^{2}-\sqrt{2}x)\)，但该方法在裂项后计算系数时运算量巨大，不太可取。类似题目还有：

类题 1：

\[ \int\dfrac{1 - x^{2}}{1 + x^{4}}\mathrm{d}x \]

类题 2：

\[ \int\dfrac{1}{1 + x^{6}}\mathrm{d}x \]

利用以上两题可求得

\[ \int\dfrac{1}{1 + x^{4}}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\left[\int\dfrac{1 + x^{2}}{1 + x^{4}}\mathrm{d}x+\int\dfrac{1 - x^{2}}{1 + x^{4}}\mathrm{d}x\right] \]