定积分 1
定积分的计算依赖于不定积分的计算，其基本方法是利用 N - L 公式
\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a)\]
即算出 \(f(x)\) 的原函数 \(F(x)\) 后，在区间 \([a, b]\) 的端点上作差即可。
但是，一个函数在区间 \([a, b]\) 上可积与在区间 \([a, b]\) 上存在原函数是两个截然不同的概念。
有些函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上可积，但是却不存在原函数；有的函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上存在原函数 \(F(x)\)，但是却不可积。
所以，利用 N - L 公式计算定积分的前提是——函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上不仅存在原函数，而且还可积。
显然，对于那些可积却又不存在原函数的函数 \(f(x)\)，在求其定积分 \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x\) 时，无法使用 N - L 公式。并且，即便一个函数 \(f(x)\) 既存在原函数，也可积，但是其原函数很有可能不是初等函数（通俗一点来说，指的是这种函数的原函数 \(F(x)\) 理论上是存在的，但是你求不出它的具体表达式，比如
\[\int \dfrac{\sin x}{x} \mathrm{d}x\ 、 \int e^{-x^{2}} \mathrm{d}x\]
所以虽然 N - L 公式理论上是成立的，但是却无法用其进行定积分的计算（因为 \(F(x)\) 的表示你都求不出来）。
基于以上种种原因，我们需要找到一些其它的方法来计算定积分的值，常用的技巧有如下几个：
利用几何意义
如计算
\[\int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} \mathrm{d}x\]
利用奇偶性
若 \(f(x)\) 为奇函数，则 \(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d}x = 0\)；若 \(f(x)\) 为偶函数，则 \(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d}x = 2\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d}x\)
如计算
\[\int_{-1}^{1} \sin^{2}x \cdot \ln(x + \sqrt{1 + x^{2}}) \mathrm{d}x 、 \int_{-1}^{1} \frac{x + 1}{1 + \sqrt[3]{x^{2}}} \mathrm{d}x\]
利用周期性
若 \(f(x)\) 可积且周期为 \(T\)，则
\[\int_{a}^{a + nT} f(x) \mathrm{d}x = n\int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d}x\]
（其中 \(a\) 可取任意的实数）。请证明该结论，并计算
\[\int_{2}^{2 + 10\pi}|\sin x| \mathrm{d}x 、 \int_{0}^{\pi} \sqrt{1 - \sin x} \mathrm{d}x 、 \int_{e^{-2n\pi}}^{1}|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos(\ln\frac{1}{x})| \mathrm{d}x\]
利用区间再现公式
\[ \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x=\int_{a}^{b} f(a + b - x) \mathrm{d}x=\frac{1}{2} \int_{a}^{b}[f(x)+f(a + b - x)] \mathrm{d}x\]
请证明该公式，并给出该公式的几何意义，然后计算
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d}x\]
利用华莱士公式
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n}x \mathrm{d}x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n}x \mathrm{d}x=\begin{cases}\frac{n - 1}{n} \frac{n - 3}{n - 2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} & (n为偶数)\\\frac{n - 1}{n} \frac{n - 3}{n - 2} \cdots \frac{2}{3} & (n为奇数)\end{cases}\]
如计算
\[\int_{0}^{\pi} \sin^{4}x \mathrm{d}x\]
请思考
\[\int_{0}^{\pi} \sin^{n}x \mathrm{d}x 、\int_{0}^{\pi} \cos^{n}x \mathrm{d}x、\int_{0}^{2\pi} \sin^{n}x \mathrm{d}x、\int_{0}^{2\pi} \cos^{n}x \mathrm{d}x、\int_{-\pi}^{\pi} \sin^{n}x \mathrm{d}x\]
等积分，该如何计算
利用一个常见的积分公式
设 \(f(x)\) 连续，则
\[\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d}x=\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d}x\]
可简化计算。请利用区间再现公式证明本公式，并计算
\[\int_{0}^{\pi} x \sqrt{\sin^{2}x - \sin^{4}x} \mathrm{d}x 、 \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^{2}x} \mathrm{d}x\]
练习与拓展
下面这几个题，都是比较常规的题目，要么直接利用 N - L 公式，要么利用上文中介绍的几个基本技巧。
例题 1
\[\int_{0}^{1} \dfrac{x^{2} \arcsin x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\mathrm{d}x\]
\[\int_{0}^{3} \arcsin\sqrt{\dfrac{x}{1 + x}}\mathrm{d}x\]
\[\int_{1}^{16} \arctan\sqrt{\sqrt{x} - 1}\mathrm{d}x\]
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x\ln \sin x\mathrm{d}x\]
Note
本题被积函数出现瑕点 \(x = 0\)，本质是收敛的反常积分
直接分部积分代入上下限无法计算，解决方法有两种：
- 一是先计算不定积分再整体带入上下限，用“推广的N - L公式”
- 二是分部积分前在后面加减恰当常数使计算出的极限收敛）。
例题 2
\[\int_{0}^{2\pi} \dfrac{1}{1 + \cos^{2}x}\mathrm{d}x\]
Warning
利用 N - L 公式计算定积分时，原函数必须连续，若积分区间内部存在原函数无定义点，需将积分区间从无定义点处拆开，用“推广的 N - L 公式”计算
也可利用周期性和对称性提前将无定义点移出积分区间，如
\[\int_{0}^{2\pi} \dfrac{1}{1 + \cos^{2}x}\mathrm{d}x = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{1 + \cos^{2}x}\mathrm{d}x\]
类似题目
\[\int_{0}^{\pi} \dfrac{1}{1 + \sin^{2}x}\mathrm{d}x\]
可自行练习
求不定积分 \(\int \dfrac{1}{1 + \cos^{2}x}\mathrm{d}x\) 时可不考虑变形产生的无定义点，但定积分计算中此问题不能忽略）。
类题 1
判断以下计算是否正确并说明原因，若错请更正：
\[\int_{-1}^{1}(\arctan\dfrac{1}{x})'\mathrm{d}x=\left.\arctan\dfrac{1}{x}\right|_{-1}^{1}=\arctan1 - \arctan(-1)=\dfrac{\pi}{4}-(-\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\pi}{2}\]
类题 2
设\(f(x)=\dfrac{(x + 1)^{2}(x - 1)}{x^{3}(x - 2)}\)，计算
\[I=\int_{-1}^{3} \dfrac{f'(x)}{1 + f^{2}(x)}\]
方法与前两题类似，需拆分区间分别计算，答案为 \(\dfrac{32}{27}-2\pi\)
例题 3
设
\[I_{n}=\int_{0}^{2\pi} \sin^{n}x\mathrm{d}x，J_{n}=\int_{0}^{2\pi} \cos^{n}x\mathrm{d}x\]
（1）对于任意正整数 \(n\)，均有 \(I_{n}=J_{n}\)。
（2）当 \(n\) 是偶数时
\[I_{n}=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n}x\mathrm{d}x\]
（3）当 \(n\) 是奇数时，\(I_{n}=0\)
注：可直接当结论在考试中使用，类似结论在三角函数积分中常见，利用周期性和对称性可看出其成立
例题 4
计算
\[\int \dfrac{\sin10x}{\sin x}\mathrm{d}x\]
注：一般有公式 \(\dfrac{\sin2nx}{\sin x}=2\sum\limits_{k = 1}^{n} \cos(2k - 1)x\)，\(\dfrac{\sin(2n + 1)x}{\sin x}=1+\sum\limits_{k = 1}^{n} \cos2kx\)
可通过分子添项减项积化和差约分得到，利用此公式可求相应定积分。
例题 5
计算
\[I_{n}=\int_{0}^{\pi} \dfrac{\sin(2n + 1)x}{\sin x}\mathrm{d}x\]
可将此题改编为证明
\[a_{n}=\int_{0}^{\pi} \dfrac{\sin(2n + 1)x}{\sin x}\mathrm{d}x=\pi\]
例题 6
\[a_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\dfrac{\sin nx}{\sin x})^{2}\mathrm{d}x\]
求 \(a_{n}\)
【区间再现公式】
将积分
\[\int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x=\int_{a}^{b} f(a + b - x)\mathrm{d}x\]
相加除以 2 得到
\[\int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x=\int_{a}^{b} f(a + b - x)\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\int_{a}^{b}[f(x)+f(a + b - x)]\mathrm{d}x\]
后者往往更好算，但也有例外，有的题目直接用
\[\int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x=\int_{a}^{b} f(a + b - x)\mathrm{d}x\]
可简化积分
例题 7
计算积分
\[\int_{0}^{1}(1 - x)^{100}x\mathrm{d}x\]
注：本题代表一种模型，对于积分
\[\int_{a}^{b} x^{m}(a + b - x)^{n}\mathrm{d}x\]
（\(m,n\) 为正整数），当 \(m\) 小 \(n\) 大时，利用区间再现可简化计算
例题 8
计算积分
\[\int_{0}^{2} x(x - 1)(x - 2)\mathrm{d}x\]
注：本题几何意义是广义奇偶性，利用被积函数中心对称特点可简化计算
例题 9
计算
\[\int_{0}^{1}|x - \dfrac{1}{2}|^{5}x^{n}(1 - x)^{n}\mathrm{d}x\]