中值定理 7 ¶

答案暂无 md 版本，pdf 版本见【PDF】栏，或者使用夸克搜题软件也可以

Taylor¶

若要证明的式子中含有高阶导数（如 \(f^{(4)}(\xi)\)、\(f^{(m)}(\xi)\) 等），一般要用带拉格朗日余项的泰勒公式：

有限区间在某点展开 ¶

在选取展开点和被展开点时，总的思路是选取导数值信息多的点作为 \(x_{0}\)( 在 \(x_0\) 处展开 )。当然，有时也会有其他展开方式，如将两端点均在中点处展开、将中点分别在两个端点处展开、在任意点处展开等，具体情况需具体分析。

例 1 ¶

设 \(f(x)\) 在 \([-1,1]\) 三阶连续可导，\(f(-1)=0\)，\(f'(0)=0\)，\(f(1)=1\)，证：\(\exists \xi \in(-1,1)\)，s.t.\(f^{\prime \prime \prime}(\xi)=3\)。

例 2 ¶

设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 二阶可导，\(f(0)=f(1)=0\)，\([f(x)]_{min}=-1\)，证：\(\exists \xi \in(0,1)\)，s.t.\(f^{\prime \prime}(\xi) \geq8\)。

例 3 ¶

设 \(f(x)\) 在 \(x = x_{0}\) 的邻域内四阶可导，\(|f^{(4)}(x)| \leq M(M>0)\)，证：对此邻域上任意一个不同于 \(x_{0}\) 的点 \(a\)，以及其关于 \(x_0\) 的对称点 \(b\)，有 \(|f^{\prime \prime}(x_{0})-\dfrac{f(a)+f(b)-2f(x_{0})}{(a - x_{0})^{2}}| \leq\dfrac{M}{12}(a - x_{0})^{2}\)。

例 4 ¶

在一条笔直的道路上，一辆汽车从开始启动到刹车停止用单位时间走完了单位路程，证明：至少有一个时间点，其加速度的绝对值不小于 4。

无穷区间以及在任意点展开 ¶

当题目出现无穷区间时，我们有一种特殊的展开方式

以及

例 1 ¶

\(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 三阶可导，且 \(f(x)\) 和 \(f''(x)\) 有界，证明：\(f'(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 也有界。

例 2 ¶

设 \(f(x)\) 在 \((0,1)\) 二阶可导，且 \(|f(x)| \leq a\)，\(|f^{\prime \prime}(x)| \leq b\)，证：\(|f'(x)| \leq 2a+\dfrac{b}{2}\) 成立。

例 3 ¶

设 \(f(x)\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 二阶可导，记 \(M_{i}=\max |f^{(i)}(x)|(i = 0,1,2)\)，证明：\(M_{1}^{2} \leq 2M_{0}M_{2}\)。

例 4 ¶

设 \(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 二阶可导，记 \(M_{i}=\max |f^{(i)}(x)|(i = 0,1,2)\)，证明：\(M_{1}^{2} \leq 4M_{0}M_{2}\)。

中值极限 ¶

有一种题目，是让你计算有限增量公式中的中值参数的极限。这种题目的思想其实特别简单，只需要自己将 \(f(x)\) 重新展开一次，然后和题干给出的展开式对比，得到一个简单等式，然后想办法把中值分离出来即可。

我们往往用拉格朗日中值定理或者泰勒公式去剥离中值参数

例 1 ¶

\(f(x)\) 二阶连续可导，\(f''(x)\neq0\)，若 \(f(x + h)=f(x)+f'(x+\theta h)h(0<\theta<1)\)，证：\(\lim\limits_{h\to0}\theta=\dfrac{1}{2}\)。

例 2 ¶

\(f(x)\) 有 \(n + 1\) 阶连续导数，若 \(f(a + h)=f(a)+f'(a)h+\dfrac{f''(a)}{2}h^{2}+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(a+\theta h)}{n!}h^{n}(0<\theta<1)\) 且 \(f^{(n + 1)}(a)\neq0\)，证明：\(\lim\limits_{h\to0}\theta=\dfrac{1}{n + 1}\)。

例 3 ¶

\(f(x)\) 有 \(n\) 阶连续导数，\(f^{(k)}(x_{0})=0(k = 2,3,\cdots,n - 1)\)，\(f^{(n)}(x_{0})\neq0\)，\(f(x_{0}+h)=f(x_{0})+hf'(x_{0}+\theta h)\)，其中 \(0<\theta<1\)，证明：\(\lim\limits_{h\to0}\theta=\dfrac{1}{\sqrt[n - 1]{n}}\)。