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微甲小测 ( 周三班 )

其实有两套题，但是另一套差不多等于只改了数字，就不放了

  1. 多选题 (10 分 ) 曲线\(y = \dfrac{x^{2}-1}{x + 2}+ \sqrt{x^{2}+2x + 4}\)的渐近线共有___条。
  • A. 1;
  • B. 3;
  • C. 2;
  • D. 4;

考虑铅直渐近线和水平渐近线、斜渐近线。B

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  1. 多选题 (10 分 ) 下列函数中，在\(x = 0\)处不可导的是
  • A. \(f(x)=x\cos|x|\)；
  • B. \(f(x)=\cos|x|\)；
  • C. \(f(x)=|x|\sin x\)；
  • D. \(f(x)=(1 - x)\sin|x|\)。

D

  1. 多选题 (10 分 ) 设\(f(x)=\dfrac{1}{x^{2}-3x + 2}\)，则：\(f^{(2024)}(0)=\)___。
  • A. \((1-\dfrac{1}{2^{2025}})2025!\)；
  • B. \((1-\dfrac{1}{2^{2024}})2024!\)；
  • C. \((1-\dfrac{1}{2^{2025}})2024!\)；
  • D. \((1-\dfrac{1}{2^{2024}})2025!\)。

C

  1. 多选题 (10 分 ) 极限\(\lim\limits_{x\to+\infty}x(\pi - 2\arctan x)=\)___。
  • A. 2.
  • B. \(-\pi\)；
  • C. \(-2\)；
  • D. \(\pi\)；

\(x(\pi-2\arctan x)\sim x\tan(\pi-2\arctan x) = -x\dfrac{2x}{1-x^2}\to2(x\to+\infty)\)

这是逆用 \(\tan x\sim x(x\to 0)\)

A

  1. 多选题 (10 分 ) 设\(f(x)\)在\(x = 0\)处二阶可导，则：

(1) 若 \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^{2}}=1\)，则：\(\lim_{x\to0}\dfrac{f'(x)}{x}=2\)；

(2) 若 \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^{3}}=\dfrac{1}{3}\)，则：\(\lim_{x\to0}\dfrac{f'(x)}{x^{2}}=1\)；

(3) 若 \(\lim\limits_{x\to0}f''(x)=0\)，且 \(f'''(0)=1\)，则：\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f''(x)}{\sqrt[3]{x}}=0\)；

(4) 若 \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f''(x)}{x}=1\)，则：\(f'''(0)=1\)。

上述陈述中，正确结论的个数为【 】

  • A. 4；
  • B. 1；
  • C. 2；
  • D. 3；

注意：只知道在一点可导，不能使用洛必达法则

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(2) 亦可举反例：\(f(x) = x^3(\dfrac{1}{3}+x\sin(\dfrac{1}{x}))\)

(3)(4) 利用导数定义和极限四则运算

D

  1. 多选题 (10 分 ) 下列陈述错误的是
  • A. 区间 \(I\) 上的连续函数一定有界
  • B. 函数 \(f(x)=\begin{cases}2e^{x}&x < 0\\2x + 1&x\geq0\end{cases}\) 的原函数为 \(F(x)=\begin{cases}2e^{x}+C - 2&x < 0\\x^{2}+x + C&x\geq0\end{cases}\)
  • C. 若 \(f'(0)<0\)，则：\(\exists\delta>0\)，使得 \(f(x)\) 在区间 \((0,\delta)\) 内单调递减。
  • D. 若 \(f(x)\) 在 \(U(x_{0})\) 内可导，且在 \(x_{0}\) 处有极大值，则：一定存在 \(\delta>0\)，使得 \(f(x)\) 在 \((x_{0}-\delta,x_{0})\) 内单调递增，在 \((x_{0},x_{0}+\delta)\) 内单调递减。

ABCD

B 不存在原函数（

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Note

原函数 存在性定理

  • (1) 连续函数 \(f(x)\) 必有原函数
  • (2) 含有第一类间断点，无穷间断点的函数 \(f(x)\) 在包含该间断点的区间内必不存在原函数

连续函数一定存在原函数，反之是不对的

有第一类间断点的函数一定不存在原函数，但有第二类间断点的函数可能有原函数，如：\(F(x)=\begin{cases}x^{2}\sin\dfrac{1}{x}&x\neq0\\0&x = 0\end{cases}\)，\(f(x)=\begin{cases}2x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}&x\neq0\\0&x = 0\end{cases}\)，显然有 \(F'(x)=f(x)\)，但 \(x = 0\) 为 \(f(x)\) 的第二类间断点

定积分 存在性充分条件

  • (1) 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，则 \(\int_{a}^{b}f(x)dx\) 存在
  • (2) 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上单增，则 \(\int_{a}^{b}f(x)dx\) 存在
  • (3) 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界，且只有有限个间断点，则 \(\int_{a}^{b}f(x)dx\) 存在

变限积分的性质

  • 函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积，则函数 \(F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt\) 在 \([a,b]\) 上连续
  • 函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，则函数 \(F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt\) 在 \([a,b]\) 上可导

积分上限函数

设 \(f(x)\) 连续或有有限个第一类间断点，令 \(F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt\)，则：当 \(x_{0}\) 为 \(f(x)\) 的第一类间断点时，\(F(x)\) 在 \(x = x_{0}\) 处连续；当 \(x_{0}\) 为 \(f(x)\) 的连续点时，\(F(x)\) 在 \(x = x_{0}\) 处可导。

  1. 多选题 (10 分 ) 设\(f(x)\)在\(x = 1\)处可导，且\(f(1)=0\)，\(f'(1)=2025\)， 则：\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(\cos2x)}{\ln(1 - 2x^{2})}=\)___。
  • A. \(4050\)；
  • B. \(2025\)；
  • C. \(-2025\)；
  • D. \(-4050\)；

\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(\cos2x)}{\ln(1 - 2x^{2})} = \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(\cos2x)}{\cos 2x-1}\dfrac{\cos 2x-1}{\ln(1-2x^2)}\)

\(\dfrac{\cos 2x-1}{\ln(1-2x^2) } \sim \dfrac{-2x^2}{-2x^2} = 1(x\to 0)\)

B

  1. 多选题 (10 分 ) 极坐标系下的曲线\(C:r = 2\theta\)在\(\theta=\pi\)处的切线方程为
  • A. \(y=\pi x + 2\pi-\pi^{2}\)。
  • B. \(y=\pi x + 2\pi\)；
  • C. \(r - 2\pi=2(\theta-\pi)\)；
  • D. \(y=\pi x + 2\pi^{2}\)；

切点 \((-2\pi,0),k = \pi\)

D

  1. 多选题 (10 分 ) 设\(y = f(x)\)是由方程\(e^{xy}+x + y = 2\)确定的隐函数，则\(\lim\limits_{n\to+\infty}n[f(\dfrac{1}{n})-1]=\)___。
  • A. \(-1\)；
  • B. \(1\)；
  • C. \(2\)；
  • D. \(-2\)；

\(e^{xy}(y+xy')+1+y' = 0\Rightarrow y' = -2\)

D

  1. 多选题 (10 分 ) 下列命题中正确的是

    • A. 若 \(f'(x)\) 在 \((0,1)\) 内有界，则：\(f(x)\) 在 \((0,1)\) 内必有界；
    • B. 方程 \(\ln x-\dfrac{e}{x}+2025 = 0\) 有且仅有一个实根；
    • C. 若 \(f(x)\) 在 \((0,1)\) 内可微且有界，则：导函数 \(f'(x)\) 在 \((0,1)\) 内必有界；
    • D. 方程 \(\ln x-\dfrac{x}{e}+2025 = 0\) 恰有两个不同的正根；

A \(|f(x)| = |f(x)-f(\dfrac{1}{2})+f(\dfrac{1}{2})|\le |f'(\xi)|+|f(\dfrac{1}{2})|\)(Lagrange)

B \(x\ln x = -2025x+e\)

C \(f(x) = x^{1.5}\sin(\dfrac{1}{x})(f(0) = 0)\)

ABD

补充一个题

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