2025 考研真题 ¶
非数学系 123
20.( 本题满分 12 分 ) 设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a,b)\) 内可导，证明：导函数 \(f'(x)\) 在 \((a,b)\) 内严格单调增加的充分必要条件是：
对 \((a,b)\) 内任意的 \(x_1,x_2,x_3\)，当 \(x_1 < x_2 < x_3\) 时，
\[\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} < \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2}\]
必要性 : 若 \(f'(x)\) 严格递增
由拉格朗日中值定理，存在 \(\xi_1\in(x_1,x_2)\)，\(\xi_2\in(x_2,x_3)\)，使得
\[\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(\xi_1) < f'(\xi_2) = \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2}\]
充分性 :
考虑 \(\forall x_1,x_2\in(a,b),x_1 - \delta < x_1 < \dfrac{x_1+x_2}{2} < x_2 < x_2+\delta\)
\(\delta\) 是一个正数
由题目条件：
\[
\dfrac{f(x_1) - f(x_1-\delta)}{-\delta} < \dfrac{f(\frac{x_1+x_2}{2}) - f(x_1)}{\frac{x_1+x_2}{2} - x_1} < \dfrac{f(x_2) - f(\frac{x_1+x_2}{2})}{x_2 - \frac{x_1+x_2}{2}} < \dfrac{f(x_2 + \delta) - f(x_2)}{\delta}
\]
令 \(\delta \to 0\)
\[
f'(x_1) \le \dfrac{f(\frac{x_1+x_2}{2}) - f(x_1)}{\frac{x_1+x_2}{2} - x_1} < \dfrac{f(x_2) - f(\frac{x_1+x_2}{2})}{x_2 - \frac{x_1+x_2}{2}} \le f'(x_2)
\]
QED
Tip
本题也是以凹凸性为背景，考虑到期末考也经常考这种，故选入题集
另外，考研考这个是不是太简单了 (x)