16th-CMCT7¶
第 16 届全国大学生数学竞赛初赛第七题
设 \(f(x)\) 是 \(\mathbb{R}\) 上具有连续导数的非负函数，且存在 \(M > 0\)，使得 \(\forall x,y \in \mathbb{R}\)，有 \(\left|f'(x) - f'(y)\right| \leq M\left|x - y\right|\)。
证明：\(\forall x \in \mathbb{R}\)，有
\[(f'(x))^2 \leq 2M\left|f(x)\right|\]
Tip
有点像在无穷区间 Taylor 展开的题型，我们当时是把 \(f(x+h)\) 展开后变成恒成立问题处理的。
但是本题只给到一阶可导，基本不考虑泰勒公式，但是可以仿照泰勒公式估计余项，得到 \(h^2\) 的不等式，用判别式或者均值不等式得到结论
我们需要往题目条件【导数的差】上靠，于是想到一种处理同名函数差的方法，就是逆用 N-L 公式
\[\forall h \in \mathbb{R}. f(x + h) - f(x) - f^{\prime}(x)h\]
\[
= \int_{x}^{x + h} f^{\prime}(t) dt - f^{\prime}(x)h = \int_{x}^{x + h} (f^{\prime}(t) - f^{\prime}(x)) dt
\]
\[
\le \left|\int_{x}^{x + h} \Big|f^{\prime}(t) - f^{\prime}(x)\Big| dt\right|\leq \left|\int_{x}^{x + h} M|x - t| dt\right|= \frac{M}{2} h^{2}.
\]
考虑到 \(f(x)\) 非负，\(f(x)+f^{\prime}(x)h+\dfrac{M}{2} h^{2} \geq f(x + h) \geq 0.\) 对于任意 \(h \in\mathbb{R}\) 恒成立
判别式为 \(\Delta = f^{\prime}(x)^{2}-2M f(x) \leq 0\)，即 \((f^{\prime}(x))^{2} \leq 2M f(x)\)