积分与极限 Cont. 细化区间
例 4 设 \(f\) 在 \([0,1]\) 上连续，求
\[\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f(\sqrt[n]{x}) \mathrm{d}x\]
解 对于任意的正整数 \(n\geqslant2\)，根据积分第一中值定理，存在 \(\xi_{n}\in\left[0,\dfrac{1}{n}\right]\) 及 \(\eta_{n}\in\left[\dfrac{1}{n},1\right]\)，使得
\[
\int_{0}^{\frac{1}{n}}f(\sqrt[n]{x})\mathrm{d}x = f(\sqrt[n]{\xi_{n}})\cdot\frac{1}{n},\quad\int_{\frac{1}{n}}^{1}f(\sqrt[n]{x})\mathrm{d}x = f(\sqrt[n]{\eta_{n}})\cdot\left(1 - \frac{1}{n}\right).
\]
因为 \(f\) 在 \([0,1]\) 上是有界的，而有界量与无穷小量的乘积仍为无穷小量，所以
\[
\lim_{n\to\infty}f(\sqrt[n]{\xi_{n}})\cdot\frac{1}{n}=0
\]
又因 \(\frac{1}{n}\leqslant\eta_{n}\leqslant1\)，故有 \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\eta_{n}} = 1\)。根据 \(f\) 在 \(x = 1\) 处的连续性，有
\[
\lim_{n\to\infty}f(\sqrt[n]{\eta_{n}})\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)=f(1)
\]
因此
\[
\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}f(\sqrt[n]{x})\mathrm{d}x=\lim_{n\to\infty}\left(\int_{0}^{\frac{1}{n}}f(\sqrt[n]{x})\mathrm{d}x+\int_{\frac{1}{n}}^{1}f(\sqrt[n]{x})\mathrm{d}x\right) = f(1)
\]
2020 微积分甲期末考第四题
(2) 求极限
\[\lim_{n\to\infty}\left(\int_{1}^{2}e^{-nt^{2}}\mathrm{d}t\right)^{\frac{1}{n}}\]
路老师写过答案
先考虑边界的数，\(e^{-t^{2}}\leq e^{-1}\)，当 \(t\in[1,2]\) 时成立
\[\int_{1}^{2}e^{-t^{2}}\mathrm{d}t\leq\int_{1}^{2}e^{-1}\mathrm{d}t = e^{-1}\Rightarrow \left(\int_{1}^{2}e^{-nt^{2}}\mathrm{d}t\right)^{\frac{1}{n}}\leq\left(\int_{1}^{2}e^{-n}\mathrm{d}t\right)^{\frac{1}{n}}=(e^{-n})^{\frac{1}{n}}=e^{-1}\]
另一方面，利用函数极限\(\lim\limits_{t\rightarrow1^{+}}e^{-t^{2}} = e^{-1}\)
即 \(\forall\varepsilon>0\)，\(\exists\delta>0\)，当 \(\vert x - 1\vert<\delta\) 时，有 \(\vert e^{-t^{2}}-e^{-1}\vert<\varepsilon\)
从而当 \(t\in[1,1 + \delta]\) 时，有 \(e^{-t^{2}}>e^{-1}-\varepsilon\) 成立
从而
\[\left(\int_{1}^{2}e^{-nt^{2}}\mathrm{d}t\right)^{\frac{1}{n}}\geq\left(\int_{1}^{1+\delta}e^{-nt^{2}}\mathrm{d}t\right)^{\frac{1}{n}}\geq\left(\int_{1}^{1+\delta}(e^{-1}-\varepsilon)^n\mathrm{d}t\right)^{\frac{1}{n}}=(e^{-1}-\varepsilon)\delta^{\frac{1}{n}}\]
我们有极限 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\delta^{\frac{1}{n}} = 1\)，所以
对于上述 \(\varepsilon\)，存在 \(N\)，当 \(n>N\) 时，有 \(\delta^{\frac{1}{n}}>1-\varepsilon\)
则 \(\delta^{\frac{1}{n}}\cdot(e^{-1}-\varepsilon)>e^{-1}-2\varepsilon\)
即对于任意 \(\dfrac{1}{e}>\varepsilon>0\)，存在 \(N\)，当 \(n>N\) 时，有
\[e^{-1}-2\varepsilon<\int_{1}^{2}e^{-nt^{2}}\mathrm{d}t<e^{-1}<e^{-1}+2\varepsilon\]
这是数列极限的 \(\varepsilon-N\) 定义
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{1}^{2}e^{-nt^{2}}\mathrm{d}t = e^{-1}\]
Tip
其实 \(e^{-1}\) 是被积函数在 \([1,2]\) 上的最大值，更一般的，本题的背景是下面这个结论
