积分与极限 ¶
卢兴江课本题
6-46. 证明：
\[\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{1}\frac{x^{n}}{1 + x^{2}}\mathrm{d}x = 0\]
【解】 因为 \(0\leqslant\dfrac{x^{n}}{1 + x^{2}}\leqslant x^{n}\)，则
\[\int_{0}^{1}0dx\leqslant\int_{0}^{1}\frac{x^{n}}{1 + x^{2}}\mathrm{d}x\leqslant\int_{0}^{1}x^{n}\mathrm{d}x\]
\[\Rightarrow 0\leqslant\int_{0}^{1}\frac{x^{n}}{1 + x^{2}}\mathrm{d}x\leqslant\frac{1}{n + 1}\]
由敛迫性有
\[\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}\frac{x^{n}}{1 + x^{2}}\mathrm{d}x = 0\]
6-47. 设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上有一阶连续导数，证明：
(1)
\[\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{1}x^{n}f(x)\mathrm{d}x = 0\]
(1) 因为 \(f\in D[0,1]\)，所以 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上有界。设 \(\vert f(x)\vert\leqslant M\) (\(\forall x\in[0,1]\))，则
\[
0\leqslant\left|\int_{0}^{1}x^{n}f(x)\mathrm{d}x\right|\leqslant M\int_{0}^{1}x^{n}\mathrm{d}x=\frac{M}{n + 1}\rightarrow0\ (n\rightarrow\infty)
\]
从而
\[\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}x^{n}f(x)\mathrm{d}x = 0\]
(2)
\[\lim_{n\to0^{+}}n\int_{0}^{1}x^{n}f(x)\mathrm{d}x = f(1)\]
证 由分部积分法
\[
\int_{0}^{1}x^{n}f(x)\mathrm{d}x=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}f(x)\Big|_{0}^{1}-\frac{1}{n + 1}\int_{0}^{1}x^{n + 1}f^{\prime}(x)\mathrm{d}x
\]
\[
=\frac{1}{n + 1}f(1)-\frac{1}{n + 1}\int_{0}^{1}x^{n + 1}f^{\prime}(x)\mathrm{d}x
\]
由 (1) 知
\[
\int_{0}^{1}x^{n + 1}f^{\prime}(x)\mathrm{d}x\rightarrow0\ (n\rightarrow+\infty)
\]
故
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}n\int_{0}^{1}x^{n}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n + 1}\left[f(1)-\int_{0}^{1}x^{n + 1}f^{\prime}(x)\mathrm{d}x\right] = f(1)
\]
由此可得积分估计式
\[
\int_{0}^{1}x^{n}f(x)\mathrm{d}x=\frac{f(1)}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)
\]
Note
突然想起来，这不是我那年数分的期末考试题吗？只不过我那年考试的时候是二阶的
八、已知 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上二阶连续可导，证明：
\[
\int^1_0x^nf(x)\mathrm{d}x = \dfrac{f(1)}{n}-\dfrac{f(1)+f'(1)}{n^2}+o(\dfrac{1}{n^2})
\]
6-48. 设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上可积，\(g(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续，且 \(g(x)\geq0\)。证明：
\[\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{1}\sqrt[n]{g(x)}f(x)\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x\]
因为 \(f(x)\) 连续，且 \(f(x)>0\)，故存在最大值 \(M > 0\) 和最小值 \(m > 0\)，则有
\[
m\leqslant f(x)\leqslant M,\quad \sqrt{m}\leqslant \sqrt{f(x)}\leqslant \sqrt{M}
\]
又 \(g(x)>0\)，从而
\[
\sqrt{m}\int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x\leqslant \int_{a}^{b}g(x)\sqrt{f(x)}\mathrm{d}x\leqslant \sqrt{M}\int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x
\]
由于 \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{m}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{M}=1\)，由敛迫性
\[\Rightarrow \lim_{n\to\infty}\int_{a}^{b}g(x)\sqrt{f(x)}\mathrm{d}x=\int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x\]