下凸函数开区间连续性 ¶
2018 微积分甲期末考试 12 题
12. 设 \(f\) 在开区间 \((0,1)\) 上有定义，且满足对于 \((0,1)\) 中的任意三点 \(x_{1}<x_{2}<x_{3}\) 成立不等式
\[\dfrac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}\leq\dfrac{f(x_{3})-f(x_{1})}{x_{3}-x_{1}}\leq\dfrac{f(x_{3})-f(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}\]
现任取 \((0,1)\) 中一点 \(x_{0}\)，试证明 \(f\) 在点 \(x_{0}\) 处右连续。
Tip
本题的背景是下凸函数在开区间的连续性，函数的凹凸性本身不通过二阶导数来定义，也并非所有的凹凸函数都有二阶导数。更一般的定义是斜率的关系或者琴生不等式
本题用两条割线夹逼放缩就可以了，画一个草图翻译一下就行。
取 \(x_{1}<x_{0}<x<x_{2}\)
对 \(x_0<x<x_2\) 用题干中左边的不等式
\[\frac{f(x)-f(x_{0})}{x - x_{0}}\leq\frac{f(x_{0})-f(x_{2})}{x_{0}-x_{2}}\]
\[\Rightarrow f(x)\leq(x - x_{0})\frac{f(x_{0})-f(x_{2})}{x_{0}-x_{2}}+f(x_{0})\]
对 \(x_1<x_0<x\) 用题干中最左边和最右边的不等关系
\[\frac{f(x_{0})-f(x_{1})}{x_{0}-x_{1}}\leq\frac{f(x)-f(x_{0})}{x - x_{0}}\]
\[\Rightarrow f(x)\geq(x - x_{0})\frac{f(x_{0})-f(x_{1})}{x_{0}-x_{1}}+f(x_{0})\]
令 \(x\to x_0^+\) 由敛迫性即证。