2020 年研究生入学考试数学一 T20 ¶

2022 年微积分 H 期末考试 16 题

已知函数 \(f(x)\) 的导函数在 \([0,2]\) 上连续，\(f(0)=f(2)=0\)，且当 \(x\in(0,2)\) 时有 \(\vert f(x)\vert_{\max}=M\)

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此题的第一问有比较深刻的图像背景

实际上第二问是可以推出 \(\eta = 1\) 的，但是不推出也没事，我们逆用 N-L 公式一样能做

证明： (1) 由最值定理可知：\(\vert f(x)\vert\)在\([0,2]\)上必能取到最大值\(M\)，又由于\(\vert f(0)\vert=\vert f(2)\vert = 0\)

则必有 \(\eta\in(0,2)\) s.t. \(\vert f(\eta)\vert = M\)

则由拉格朗日中值定理可知：存在 \(c_1\in(0,\eta)\), \(c_2\in(\eta,2)\) s.t.:

\(f(\eta)-f(0) = f'(c_1)(\eta-0), f(2)-f(\eta) = f'(c_2)(2-\eta)\)

即 \(|M| = |f'(c_1)|\eta = |f'(c_2)|(2-\eta)\)

\(0<\eta\le1\) 时，取 \(c=c_1\)，则有 \(|f'(c)|\ge M\)；\(1<\eta<2\) 时，取 \(c=c_2\)，则有 \(|f'(c)|\ge M\)。

(2)

\[M = |f(\eta) - f(0)| = \left|\int_0^{\eta}f'(x)\mathrm{d}x\right| \le \int_0^{\eta}|f'(x)|\mathrm{d}x \le M\eta\]

\[M = |f(2) - f(\eta)| = \left|\int_{\eta}^{2}f'(x)\mathrm{d}x\right| \le \int_{\eta}^{2}|f'(x)|\mathrm{d}x \le M(2-\eta)\]

两式相加

\[2M \le \int_0^2|f'(x)|\mathrm{d}x \le 2M\Rightarrow \int_0^2|f'(x)|\mathrm{d}x = 2M\]

由于 \(|f'(x)|\le M\)，则有 \(|f'(x)| = M \Rightarrow f'(x) \equiv M\) 或者 \(f'(x) \equiv -M\)

所以 \(f(x)\) 是线性函数，由于 \(f(0)=f(2)=0\)，所以 \(f(x) \equiv 0\)，即 \(M = 0\)。