1213¶
翻阅更早的历年卷，看到据然有 Young 不等式
(2018 年微积分甲期末考试 )
- 设 \(f\) 在 \([0,+\infty)\) 上具有连续的导函数，且严格单调增加，\(f(0)=0\)，又设 \(a > 0\)，\(b > 0\) 为两个实常数，试证明下述不等式成立：
\[
\int_{0}^{a} f(x)\mathrm{d}x+\int_{0}^{b} f^{-1}(y)\mathrm{d}y\geq ab
\]
证：由题意可知 \(f^{-1}\) 存在，且 \(f^{-1}(0)=0\)，左边 =
\[
\int_{0}^{a} f(t)\mathrm{d}t+\int_{0}^{f^{-1}(b)} x\mathrm{d}f(x)=\int_{0}^{a} f(t)\mathrm{d}t+xf(x)\Big|_{0}^{f^{-1}(b)}-\int_{0}^{f^{-1}(b)} f(x)\mathrm{d}x
\]
\[
=bf^{-1}(b)-\int_{a}^{f^{-1}(b)} f(t)\mathrm{d}t
\]
若 \(a = f^{-1}(b)\)，即 \(b = f(a)\)，此时不等式等号成立；
若 \(a < f^{-1}(b)\)，因为 \(f\) 在 \([a,f^{-1}(b)]\) 上严格单调增加，所以 \(\forall x\in[a,f^{-1}(b)]\) 有 \(f(x)<f(f^{-1}(b)) = b\)
从而有不等式左边 \(>bf^{-1}(b)-[f^{-1}(b)-a]b = ab\)，此时不等式成立；
若 \(a > f^{-1}(b)\)，因为 \(f\) 在 \([f^{-1}(b),a]\) 上严格单调增加，所以 \(\forall x\in(f^{-1}(b),a]\) 有 \(f(x)>f(f^{-1}(b)) = b\)
从而有不等式左边 \(>bf^{-1}(b)+[a - f^{-1}(b)]b = ab\)，此时不等式亦成立。