20241212¶
和 sanaka87 半夜闲聊，从他博客里找到的题
求极限：
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{2^{\frac{1}{n}}}{n + 1}+\frac{2^{\frac{2}{n}}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{2^{\frac{n}{n}}}{n+\frac{1}{n}}\right)
\]
\[
\dfrac{n}{n+1}\left(\frac{2^{\frac{1}{n}}}{n }+\cdots+\frac{2^{\frac{n}{n}}}{n}\right)\le\left(\frac{2^{\frac{1}{n}}}{n + 1}+\cdots+\frac{2^{\frac{n}{n}}}{n+\frac{1}{n}}\right)\le \left(\frac{2^{\frac{1}{n}}}{n }+\cdots+\frac{2^{\frac{n}{n}}}{n}\right)
\]
使用定积分定义即可
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{2^{\frac{1}{n}}}{n + 1}+\frac{2^{\frac{2}{n}}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{2^{\frac{n}{n}}}{n+\frac{1}{n}}\right) = \int_0^1 2^x\mathrm{d}x = \dfrac{1}{\ln2}
\]