20241211¶
2021 微积分甲期末考试 12 题
卢兴江课本习题 6.54
- 设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续，且 \(\forall x\in[0,1]\)，有 \(\int_{x}^{1}f(t)\mathrm{d}t\geq\dfrac{1 - x^{3}}{2}\) 成立。求证：
\[\int_{0}^{1}[f(t)]^{2}\mathrm{d}t\geq\frac{5}{12}\]
分析
给你一个不等式，让你证另一个不等式
看到平方，首先想到直接用柯西不等式，误差太大
我处理了一下再柯西，还是做不出来
【尝试】
\[(1-x)\int_0^1f^2(t)\mathrm{d}t\ge(1-x)\int_x^1f^2(t)\mathrm{d}t = \int_x^1f^2(t)\mathrm{d}t\int_x^1 1^2\mathrm{d}t \ge \left(\int_x^1f(t)\mathrm{d}t\right)^2\ge \dfrac{(1-x^3)^2}{4}\]\[\dfrac{1}{2}\int_0^1f^2(t)\mathrm{d}t\ge\dfrac{1}{4}\int_0^1(x^6-2x^3+1)\mathrm{d}x\]
做不出来，重新思考，这里是积分上限函数，我想对他求导，两种路子：
1.对这个变限积分积分，然后分部积分
那就对条件的变限积分直接积分，然后再分部积分，最后得到 \(xf(x)\) 的积分
此时我第一时间又想到柯西不等式，试了下发现也可以，但是期末考还是不推荐，不如直接用 \([f(x) - x]^2\) 的积分
2.设整体为 F(x)，然后求导，把 \(f(x)\) 解出来
解法 1
\[
\int_0^1\left(\int_{x}^{1}f(t)\mathrm{d}t\right)\mathrm{d}x \geq \int_0^1\dfrac{1 - x^{3}}{2}\mathrm{d}x = \dfrac{3}{8}
\]
由分部积分法
\[
\int_0^1\left(\int_{x}^{1}f(t)\mathrm{d}t\right)\mathrm{d}x = x\int_x^1f(t)\mathrm{d}t\Big|_0^1 + \int_0^1xf(x)\mathrm{d}x = \int_0^1xf(x)\mathrm{d}x
\]
考虑对 \([f(x)-x]^2积分\)
\[
0\le \int_0^1[f(x)-x]^2\mathrm{d}x = \int_0^1[f(x)]^2\mathrm{d}x - 2\int_0^1xf(x)\mathrm{d}x + \int_0^1x^2\mathrm{d}x
\]
\[
\Rightarrow \int_0^1[f(x)]^2\mathrm{d}x \ge 2\int_0^1xf(x)\mathrm{d}x - \int_0^1x^2\mathrm{d}x \ge \dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{12}
\]
用柯西不等式的话就是
\[3\int_0^1 x^2 \mathrm{d}x\int_0^1[f(x)]^2\mathrm{d}x \ge 3\left(\int_0^1xf(x)\mathrm{d}x\right)^2 \ge 3\left(\dfrac{3}{8}\right)^2 = \dfrac{27}{64} > \dfrac{5}{12}\]
解法 2
设 \(F(x) = \int_x^1f(t)\mathrm{d}t - \dfrac{1 - x^{3}}{2}\ge 0 ,\forall x\in[0,1]\)
\(F'(x) = -f(x) + \dfrac{3x^2}{2}\Rightarrow f(x) = \dfrac{3x^2}{2} - F'(x)\)
可以得到
\[
\int_0^1[f(x)]^2\mathrm{d}x = \int_0^1\left(\dfrac{3x^2}{2} - F'(x)\right)^2\mathrm{d}x = \int_0^1\left(\dfrac{9x^4}{4} - 3x^2F'(x) + [F'(x)]^2\right)\mathrm{d}x
\]
\[
= \dfrac{9}{20} - 3\int_0^1x^2F'(x)\mathrm{d}x + \int_0^1[F'(x)]^2\mathrm{d}x
\]
又
\[
\int_0^1x^2F'(x)\mathrm{d}x = x^2F(x)\Big|_0^1 - \int_0^1F(x)\mathrm{d}x = -\int_0^1F(x)\mathrm{d}x
\]
所以
\[
\int_0^1[f(x)]^2\mathrm{d}x = \dfrac{9}{20} + 3\int_0^1F(x)\mathrm{d}x + \int_0^1[F'(x)]^2\mathrm{d}x \ge \dfrac{9}{20} > \dfrac{5}{12}
\]