20241210¶

(2023 微积分 ( 甲 ) 期末考 )

15. 已知函数 \(f(x)\) 在区间 \([0,1]\) 上有二阶导数，且 \(f''(x)>0\)，\(f(0)=\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx = 0\)。证明：

(1) \(f(x)\) 在区间 \((0,1)\) 内存在唯一零点 \(x_0\)

(2) 在 (1) 的条件下，当 \(x\in(0,x_0)\) 时，\(f(x)<0\)

(3)

证明

(1)

由积分中值定理，存在 \(x_0 \in (0,1)\) 使得 \((1-0)f(x_0) = 0\)

若存在 \(x_1\neq x_0\)，使得 \(f(x_1)=0 = f(0) = f(x_0)\)，则由罗尔定理，存在 \(x_2,x_3\in(0,1)\)，使得 \(f'(x_2) = f'(x_3) = 0\)

\(\Rightarrow \exists x_4\in(0,1)\) s.t. \(f''(x_4) = 0\)，矛盾。

(2)

由 \(f(0) = f(x_0) = 0\Rightarrow \exists x_1\in(0,x_0),f'(x_1) = 0\)

\(f''(x)\gt0\Rightarrow f'(x)\) 在 \([0,1]\) 上严格递增 \(\Rightarrow 0<x<x_1,f'(x)<0; x_1<x<1,f'(x)\gt0\)

因此 \(f(x)在(0,x_1)\) 上递减，在 \((x_1,1)\) 上递增。

\(\Rightarrow 0<x<x_1,f(x)<f(0)=0; x_1<x<x_0,f(x)<f(x_1)=0\)

综上：当 \(x\in(0,x_0)\) 时，\(f(x)<0\)

(3)

由 (2) 知，\(0<x<x_0,f(x)<0\)；\(x_0<x<1,f(x)>0\)

因此 \(F(x) = \int_0^xf(t)\mathrm{d}t\) 在 \((0,x_0)\) 上递减，在 \((x_0,1)\) 上递增。

\(F(0) = F(1) = 0\Rightarrow F(x) < 0,\forall x\in(0,1)\)

因此