20241209¶

通过构造积分上限函数，运用分部积分法，以退为进，证明原函数有 k+1 个零点，再通过罗尔定理证明要求解的函数有 k 个零点

1¶

卢兴江老师微积分课本习题 6.51

设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 连续，且

求证：\(f(x)\) 在 \((0,1)\) 至少有 2 个零点

证明：

设 \(F(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\mathrm{d}t\)，则 \(F(0) = F(1) = 0\)

\(\Rightarrow \displaystyle\int_0^1 F(x)\mathrm{d}x = 0\)

由积分中值定理，\(\exists c\in(0,1),\) s.t. \((1-0)F(c) = 0\) \(\Rightarrow F(0) = F(1) = F(c) = 0\)，由罗尔定理即证。

2¶

设 \(f(x)\) 在 \([0,\pi]\) 连续，且

求证：\(f(x)\) 在 \((0,\pi)\) 至少有 2 个零点

证明：

设 \(F(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\sin t\mathrm{d}t\)，则 \(F(0) = F(\pi) = 0\)

\(\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{F(x)}{\sin x} = \lim\limits_{x\to0^+}f(x)\sin x = 0\)( 洛必达法则 )

同理 \(\lim\limits_{x\to\pi^-}\dfrac{F(x)}{\sin x} = 0\)

由积分中值定理，\(\exists c\in(0,\pi),\) s.t. \((\pi-0)F(c)\dfrac{1}{\sin^2c} = 0\Rightarrow F(c) = 0\)

\(\Rightarrow F(0) = F(\pi) = F(c) = 0\)，由罗尔定理即证。