24 - 25 秋冬学期微积分 ( 甲 )I 期末模拟试题 ¶

1. 计算极限

2. 计算极限

3. 设函数 \(y = f(x)\) 由参数方程 \(\begin{cases}x = 1 + t^{3}\\y = e^{t^{2}}\end{cases}\) 确定，求下面的极限：

4. 设 \(f(x)=\int_{0}^{x}\cos(x - t)^{2}\text{d}t\)，\(\varphi(x)=\begin{cases}\dfrac{x-\sin x}{x-\ln(1 + x)},&x\neq0\\0,&x = 0\end{cases}\)，求 \(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(\varphi(x))\vert_{x = 0}\)

5. 求不定积分

6. 求下面的极限

7. 求曲线 \(f(x) = \displaystyle\int_{-\sqrt{3}}^x\sqrt{3-t^2}\mathrm{d}t\) 的弧长

8. 设 \(f(x)=\dfrac{1}{x + \sqrt{1 + x^{2}}}\)，其反函数记作 \(f^{-1}(x)\)，求 \(\displaystyle\int_{\sqrt{2}-1}^{1}f^{-1}(x)\mathrm{d}x\)

9. 设 \(t > 0\)，平面有界区域 \(D\) 由曲线 \(y = \sqrt{x}e^{-x}\) 与直线 \(x = t\)，\(x = 2t\) 及 \(x\) 轴围成，\(D\) 绕 \(x\) 轴旋转一周所成旋转体的体积为 \(V(t)\)，求 \(V(t)\) 的最大值。

10. 设 \((1+\sqrt{3})^n = a_n+\sqrt{3}b_n(a_n,b_n\in\mathbb{N}^+)\)

(1) 证明 :\(a_{n+1} = a_n+3b_n,b_{n+1} = a_n+b_n\)

(2) 求 \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{a_n}{b_n}\)

11. 设函数 \(f(x)\) 在 \([-a,a]\) 上具有二阶连续导数，证明：

(1) 若 \(f(0)=0\)，则存在 \(\xi\in(-a,a)\)，使得 \(f^{\prime\prime}(\xi)=\dfrac{1}{a^{2}}[f(a)+f(-a)]\)；

(2) 若 \(f(x)\) 在 \((-a,a)\) 内取得极值，则存在 \(\eta\in(-a,a)\) 使得 \(\left|f^{\prime\prime}(\eta)\right|\geqslant\dfrac{1}{2a^{2}}\left|f(a)-f(-a)\right|\)。

12. 设函数 \(f(x)\) 具有二阶导数，且 \(\vert f^{\prime\prime}(x)\vert\leq1\)

(1) 证明： 当 \(x\in(0,1)\) 时，\(\Big\vert f(x)-f(0)(1 - x)-f(1)x\Big\vert\leq\dfrac{x(1 - x)}{2}\)

(2) 证明：